[Schritt 3-2] Hintergründe der Mathematik

2-8 Wurzeln

Gibt es eine reelle Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl ist?

 

Leichtes Beispiel: Gibt es eine reelle Zahl, deren Quadrat 4 ist? Es gibt sogar zwei, nämlich -2 und 2. Die positive der beiden wird als die Wurzel (genauer gesagt Quadratwurzel) aus 4 bezeichnet: √4 = 2.

 

Schwierigeres Beispiel: Gibt es eine reelle Zahl, deren Quadrat 2 ist? Da 1^2 = 1 < 2 ist, ist 1 zu klein, um als √2 in Frage zu kommen. Erhöben wir ein bisschen: 1.01^2 = 1.0201 < 2, daher ist 1.01 noch zu klein! Sind wir bei 1.5 angelangt, so sagt uns die Rechnung 1.5^2 = 2.25 > 2. Die Zahl 1.5 ist zu groß, um √2 zu sein. Nun stellen wir uns vor, wir beginnen bei 1 und erhöhen kontinuerlich, bis der Wert 1.5 erreicht ist. Irgendwo, das Quadrat der Zahl wird zwischen 1 und 1.5 gleich 2 sein, da zu Beginn es zu klein war und am Ende es zu groß ist. Wir kommen als zum Schuss: es gibt eine positive reelle Zahl, deren Quadrat 2 ist. Diese nennen wir die Wurzel aus 2.

  • Für jede positive reelle Zahl gibt es immer zwei Zahlen, deren Quadrat gleich der angegebenen Zahl ist.
  • Aus negativen Zahlen kann allerdings nie die Wurzel gezogen werden, da das Quadrat jeder reellen Zahl >= 0 ist.

 

ACHTUNG! Das gilt genau im Rahmen der reellen Zahlen! Es gibt einen allgemeinen Zahlbegriff, die "komplexen Zahlen", der auch Wurzeln aus negativen Zahlen zuläßt.

 

Es gibt zwei nützliche Rechenregeln im Umgang mit Wurzeln:

  • Die Wurzel aus einem Produkt ist das Produkt der Wurzeln (z.B. √(4 x 9) = √4 x √9 = 2 x 3)
  • Die Wurzel aus einem Bruch kann gezogen werden, indem aus Zähler und Nenner die Wurzel gezogen wird (z.B. √(4/9) = √4/ √9 = 2/3).

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